Jawab:
1 < k < 2
Koreksi Soal
Sepertinya yang dimaksud pada pertanyaan adalah:
[tex]\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^{\bf3}+(k+1)x^2-(5k-1)x+7[/tex]
Pada suku pertama, pangkatnya adalah 3, bukan 2.
PEMBAHASAN
Diberikan fungsi [tex]\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+(k+1)x^2-(5k-1)x+7[/tex].
Agar selalu turun pada interval tertentu, f’(x) < 0.
Turunan pertama f(x) adalah:
[tex]f'(x)=-x^2+2(k+1)x-(5k+1)[/tex]
Turunannya adalah fungsi kuadrat. Jadi, sama saja dengan menentukan agar fungsi kuadrat tersebut selalu bernilai negatif.
Artinya, grafik f’(x) harus berada di bawah sumbu-x, dengan kata lain f’(x) definit negatif, dengan syarat D < 0 dan a < 0.
Nilai a sudah sesuai, yaitu a = –1 < 0.
Dengan a = –1, b = 2(k+1), dan c = –(5k–1):
[tex]\begin{aligned}&D < 0\\&{\Leftrightarrow\ }b^2\:-\:4ac < 0\\&{\Leftrightarrow\ }2^2(k+1)^2\:-\:4(-1)[-(5k-1)] < 0\\&{\Leftrightarrow\ }4\left(k^2+2k+1\right)\:+\:4(-5k+1) < 0\\&{\Leftrightarrow\ }4k^2+8k+4-20k+4 < 0\\&{\Leftrightarrow\ }4k^2-12k+8 < 0\\&{\Leftrightarrow\ }4(k^2-3k+2) < 0\\&{\Leftrightarrow\ }k^2-3k+2 < 0\\&{\Leftrightarrow\ }(k-1)(k-2) < 0\\&{\Leftrightarrow\ }\textsf{Nilai kritis: $k=1,\ k=2$}\\\end{aligned}[/tex]
Pemeriksaan interval agar D < 0:
[tex]\begin{aligned}&k < 1:\\&\quad(k-1)(k-2)\!\!\!&=\ &(-)(-)\\&&=\ &(+)\ > 0\\&\bf1 < k < 2:\\&\quad(k-1)(k-2)\!\!\!&=\ &(+)(-)\\&&=\ &(-)\ < 0\\&k > 2:\\&\quad(k-1)(k-2)\!\!\!&=\ &(+)(+)\\&&=\ &(+)\ > 0\\\end{aligned}[/tex]
Interval yang menyebabkan f’(x) definit negatif adalah 1 < k < 2.
KESIMPULAN
∴ Dengan demikian, agar fungsi f(x) selalu turun untuk semua nilai x bilangan nyata, batas-batas nilai x adalah 1 < k < 2.
[answer.2.content]
